فى الشكل المقابل :

h ب ج مثلث مختلف الاضلاع

xهـ و ق مستطيل فيه

هـ و = 8 سم , xهـ=6سم

بحيث $x\ J\ \overline{h\ ب\ }\ ,\ ق\ \overline{J\ h}\ \ \ $x J h ب  , ق J h   ​ ج , $\overline{هـ\ و\ }\ \ G\ \overline{ب\ ج\ }\ ا$هـ و   G ب ج  ا​

اوجد اقل مساحة ممكنة للمثلث h ب جـ

h) اثبت ان المنحنيين ص = س2 - س , 2 ص = - س3 - 3س يتماسان

ثم اوجد معادلة العمودى على المنحنيين عند نقطة التماس

كرة يتغير حجمها ح بانتظام محتفظة بشكلها الكروى وعند اى لحظة زمنية ن ثانية

كان طول نصفقطرها نق سم ومساحة سطحها مــ سم2 . اثبت ان :

$\frac{xح}{xن}\times\frac{xنق}{xن}=\frac{1}{16\ ط\ }\times\left(\frac{x\ م}{xن}\right)2$xحxن​×xنقxن​=116 ط ​×(x مxن​)2​

ومن ثم احسب قيمة $\frac{xنق}{xن}$xنقxن​​ عندما يكون $\frac{xح}{xن}$xحxن​​ = ط سم3 / ث , $\frac{xم}{xن}$xمxن​​ = 2 ط سم2 / ث

واوجد عندئذ مساحة سطح الكرة

h) اذا س ص = جا س جتا س فاثبت ان س $\frac{x2ص}{xس2}+2\ \frac{x\ ص}{xس\ }+4س\ ص\ =\ $x2صxس2​+2 x صxس ​+4س ص = ​ صفر

اوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للمنحنى :

ص = جا س ( 1 + جتا س ) حيث س $J\ \left|0\ ,\ \ \frac{ط}{2}\right|$J |0 ,  ط2​|​

اذا كانت ص = د (س) تمثل منحنى لكثيرة حدود من الدرجة الثالثة وكان د (س) < صفر

عندما س < - $\frac{2}{2}$22​​ . د (س) > صفر عندما س > - $\frac{2}{3}$23​​ ويمر منحنى الدالة بالنقطة

( 1 , 6 ) وتوجد نقطة حرجة عند (-1 , 2 ) اوجد معادلة المنحنى وبين نوع النقط الحرجة

h ) اوجد معادلة المنحنى ص = د (س) اذا علم ان $\frac{x2ص}{xس2\ }=\ \frac{2}{س3}$x2صxس2 ​= 2س3​​ وان معادلة المماس

للمنحنى عند النقطة $\left(2\ ,\ \frac{5}{2}\right)$(2 , 52​)​ الواقعة عليه هى 3 س - 4ص + 4 =0

h ) اوجد قيمة التكاملات الاتية :

i) $\int_{ }^{ }\left(قا2\ \frac{ط}{4}+\ \frac{1-2جا2س}{ظتا\ 2\ س\ }\right)\timesس\ \ \ $∫​(قا2 ط4​+ 1−2جا2سظتا 2 س ​)×س   ​

ii) $\int_{ }^{ }\ \frac{س2\ \ +\ 8\ س}{5\left(س\ +\ 4\right)}\timesس$∫​ س2  + 8 س5(س + 4)​×س​